7と5の組み合わせ問題 日能研の電車広告から

日能研という中学受験のための予備校が、電車内広告で「シカクいアタマをマルくする」というシリーズの広告を出している。これは私立中学校の入試問題の中でおもしろい問題を紹介する広告である。
私の元いた学校の入試問題も取り上げられたことがあるが、それは入試問題製作者にとって誇らしいことであるらしい。

ところで、最近見た広告がなかなか考えさせられた問題であった。こういう問題を考えだす教員に拍手というところであろう。
あなたもちょっと考えてみてほしい。

shikakumaru

5と7をいくつかずつ足してある整数を作りだします。
たとえば5を4個と7を3個で41となります。
ただし5と7をたす個数は0を含みます。

問1 58を作るには5と7をそれぞれ何個必要ですか?

問2 31,32,33,34,35のうち5と7をいくつ足してもつくれない数はありますか?
あればすべて答えなさい。なければなしと答えなさい。

問3 5と7をいくつ足してもできない数があります。その中で最も大きい数は何でしょうか?

問3は結構考えさせられます。私も何とか答えを見つけたけれど、あまり自信がない答えです。
答えはここに掲載されています。
何とかあっていた。よかった。
ここに紹介されている解き方は余りを使って考えたが、私の解き方はこれと少し違っていたようである。

私の解き方
下一桁が3になる7の倍数の最小のものは63=7×9
53=5×5+7×4
43=5×3+7×4
33=5×1+7×4
23=できない
さらに下一桁が6となる7の倍数の最小の数は56=7×8
同じように46,36,26とやってみるとそれぞれできるが、16は出来ない。
次に下一桁が9となる7の倍数の最小の数は49=7×7
同じように39,29としてみるとできるが、19は出来なくなる。

さらに問題を付け加えるならば、

問4 組み合わせが1種類しかない数の最大の数はいくつでしょうか?
たとえば、71は5×10+7×3 と 5×3+7×8 と2種類あります。

答えは63かな? 63=7×9=5×7+7×4 これも2種類あるかな? 
でもこれは結局は7×9になるから1種類だよね。
いや70かも。70=7×10
とすると7の倍数はみな1種類しかないことになるのか?
自分で作った問題が自分で解けない。。。 
誰か教えてください。

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